Capítulo23 Ecuaciones Matemáticas

## [1] "2026-09-09"

23.1 Ecuaciones matemáticas

TeX es la mejor manera de escribir funciones matemáticas en R. Donald Knuth diseñó el paquete cuando se sintió frustrado por el tiempo que les tomaba a los tipógrafos y terminar su libro, que contenía muchas funciones matemáticas. Una característica interesante de R Markdown es su capacidad para leer código LaTeX directamente.

Si está haciendo una tesis, artículo científico, presentaciones o quiere aclarar en su documento las funciones que estás usando, típicamente esto involucrará muchas ecuaciones matemáticas. Por consecuencia querrá leer la siguiente sección que ha sido comentada.

El sistema TeX fue creado por Donald Knuth en 1978 porque no le convencía la calidad tipográfica de su libro The Art of Computer Programming. LaTeX, la variante que usamos hoy, fue construida sobre TeX por Leslie Lamport.

23.2 Temas

Dónde se escribe una ecuación: en la línea o aparte
Los seis comandos que resuelven el 90 % de las fórmulas
Letras griegas y símbolos
\mathrm{}: cuándo la cursiva estorba
Ecuaciones numeradas y referencias cruzadas
Dónde buscar un símbolo que no te sabes

23.3 Lo mínimo que hay que saber

Antes del catálogo de ejemplos, conviene tener claras seis cosas. Con estas seis se escriben casi todas las fórmulas de un artículo de biología.

Los comandos de LaTeX que más vas a usar.

Subíndice _ y superíndice ^: $x_i$ da $x_i$ y $x^2$ da $x^2$.
Llaves {} para agrupar: todo lo que ocupe más de un carácter va entre llaves. $x_10$ da $x_10$, que está mal; $x_{10}$ da $x_{10}$, que es lo que querías.
Fracción \frac{arriba}{abajo}: $\frac{a}{b}$ da $\frac{a}{b}$.
Raíz \sqrt{}: $\sqrt{n}$ da $\sqrt{n}$; con índice, $\sqrt[3]{n}$ .
Sumatoria \sum, con límites en _ y ^: $\sum_{i=1}^{n} x_i$ da $\sum_{i=1}^{n} x_i$.
Acentos sobre una letra: $\bar{x}$ da $\bar{x}$ (promedio), $\hat{y}$ da $\hat{y}$ (valor estimado), $\tilde{x}$ da $\tilde{x}$.

El error número uno, con diferencia, son las llaves que faltan. $e^-2x$ no es lo que parece: solo el signo menos sube al exponente. Hay que escribir $e^{-2x}$ . Cada vez que un subíndice o un exponente tenga más de un carácter, llaves.

23.3.1 Griegas y otros símbolos

Las letras griegas se escriben con su nombre en inglés precedido de barra invertida. La minúscula va en minúscula y la mayúscula en mayúscula:

Se escribe	Sale	Se escribe	Sale
$\alpha$	$\alpha$	$\mu$	$\mu$
$\beta$	$\beta$	$\sigma$	$\sigma$
$\lambda$	$\lambda$	$\Sigma$	$\Sigma$
$\theta$	$\theta$	$\Delta$	$\Delta$
$\chi^2$	$\chi^2$	$\infty$	$\infty$
$\leq$	$\leq$	$\neq$	$\neq$
$\approx$	$\approx$	$\pm$	$\pm$

Ojo con $\lambda$ : en modelos matriciales de población, la tasa de crecimiento $\lambda$ es la letra griega, no la letra ele. Y $\Sigma$ (la mayúscula, que significa “matriz de covarianza”) no es lo mismo que $\sum$ (el operador de sumatoria), aunque se parezcan mucho en la pantalla.

23.3.2 Matemática y Física

El promedio $\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}$ se escribe como $\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}$ . Nota que para poner una ecuación en una línea se usa solamente una $ antes y después, si queremos que sea en una línea aparte se usa dos $$ antes y después.

\[\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}\]

\[ \sum_{j=1}^n (\delta\theta_j)^2 \leq \frac{\beta_i^2}{\delta_i^2 + \rho_i^2} \left[ 2\rho_i^2 + \frac{\delta_i^2\beta_i^2}{\delta_i^2 + \rho_i^2} \right] \equiv \omega_i^2 \]

De Informational Dynamics, tenemos lo siguiente (Dave Braden):

Después de n tales encuentros, la densidad posterior de $\theta$ es

\[ \pi(\theta|X_1< y_1,\dots,X_n<y_n) \varpropto \pi(\theta) \prod_{i=1}^n\int_{-\infty}^{y_i} \exp\left(-\frac{(x-\theta)^2}{2\sigma^2}\right)\ dx \]

Otra Ecuaciones

\[ \det\left|\,\begin{matrix} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_n \\ c_1 & c_2 & c_3 & \ldots & c_{n+1} \\ c_2 & c_3 & c_4 & \ldots & c_{n+2} \\ \,\vdots & \,\vdots & \,\vdots & & \,\vdots \\ c_n & c_{n+1} & c_{n+2} & \ldots & c_{2n} \end{matrix}\right| > 0 \]

Lapidus y Píndaro, Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales en ciencia y Ingeniería. Página 54

\[ \int_t\left\{\sum_{j=1}^3 T_j \left(\frac{d\phi_j}{dt}+k\phi_j\right)-kT_e\right\}w_i(t)\ dt=0, \qquad\quad i=1,2,3. \]

Funciones de ponderación del método L&P Galerkin. Página 55

\[ \sum_{j=1}^3 T_j\int_0^1\left\{\frac{d\phi_j}{dt} + k\phi_j\right\} \phi_i\ dt = \int_{0}^1k\,T_e\phi_idt, \qquad i=1,2,3 \]

Otra de L&P (p145)

\[ \int_{-1}^1\!\int_{-1}^1\!\int_{-1}^1 f\big(\xi,\eta,\zeta\big) = \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n w_i w_j w_k f\big( \xi,\eta,\zeta\big). \]

Otra de L&P (p126)

\[ \int_{A_e} (\,\cdot\,) dx dy = \int_{-1}^1\!\int_{-1}^1 (\,\cdot\,) \det[J] d\xi d\eta. \]

23.4 Símbolos de LATEX

Nadie se aprende los símbolos de memoria, ni hace falta. Lo que sí hay que saber es dónde buscarlos, y hay dos maneras. La primera es una lista como esta:

Pueden encontrar los símbolos de Latex matemáticos en la siguiente pagina web: https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols

La segunda, y casi siempre la más rápida, es dibujar el símbolo en https://detexify.kirelabs.org/classify.html: uno lo traza con el ratón y la página contesta cómo se escribe. Es la herramienta que hay que enseñarles a los estudiantes el primer día.

23.5 Química 101: Símbolos

Las fórmulas químicas se verán mejor si no están en cursiva. Evite la cursiva automática del modo matemático en LaTeX usando el argumento $\mathrm{fórmula aquí}$ , con su fórmula dentro de las llaves. (Observe el uso de comillas invertidas aquí que encierran texto y que actúa como código para ver el código original).

Entonces, $\mathrm{Fe_2^{2+}Cr_2O_4}$ es escrito como $\mathrm{Fe_2^{2+}Cr_2O_4}$ .

Esta fórmula es parte de la frase \[\mathrm{Fe_2^{2+}Cr_2O_2}\]

Exponente or Sobrescrito: $\mathrm{O^-}$ y se escribe como $\mathrm{O^-}$
Subíndice: $\mathrm{CH_4}$ y se escribe como $\mathrm{CH_4}$
Para apilar números o letras como en $\mathrm{Fe_2^{2+}}$, primero se define el subíndice y luego el superíndice y se escribe como $\mathrm{Fe_2^{2+}}$ .
punto se usa la palabra bullet:

$\mathrm{CuCl}$ $\bullet$ $\mathrm{7H_{2}O}$

donde se escribe como CuCl $\bullet$ $\mathrm{7H_{2}O}$

23.6 Símbolos comunes

Delta: $\Delta$ y se escribe como $\Delta$
Gamma mayúscula $\Gamma$
Gamma minúscula $\gamma$
Aquí está mi súper fórmula de $\phi$ que voy a usar en el examen de matemáticas.
Flecha de Reacción: $\longrightarrow$ or $\xrightarrow{fabilous}$ y se escribe como $\longrightarrow$ or $\xrightarrow{solution}$
Flecha de Resonancia: $\leftrightarrow$ y se escribe como $\leftrightarrow$
Flechas de reacción reversibles: $\rightleftharpoons$ y se escribe como $\rightleftharpoons$

23.6.1 Típografica de reaciones

Es posible que desees poner tu reacción en un entorno de ecuaciones, lo que significa que LaTeX colocará la reacción donde encaje y numerará las ecuaciones por ti.

La numeración automática y la referencia cruzada (el comando \@ref seguido de la etiqueta de la ecuación entre paréntesis) son funciones de bookdown, no de R Markdown a secas. Funcionan en este libro porque está hecho con bookdown; en un .Rmd normal con salida output: html_document la ecuación sale sin número y la referencia aparece como texto sin resolver. Para que funcionen en un documento suelto hay que poner output: bookdown::html_document2.

\[\begin{equation} \mathrm{C_6H_{12}O_6 + 6O_2} \longrightarrow \mathrm{6CO_2 + 6H_2O} \tag{23.1} \end{equation}\]

y se escribe como

\begin{equation}
  \mathrm{C_6H_{12}O_6  + 6O_2} \longrightarrow \mathrm{6CO_2 + 6H_2O}
  (\#eq:reaction)
\end{equation}

Podemos hacer referencia a esta reacción de combustión de glucosa mediante la ecuación (23.1).

23.6.2 Otros ejemplos de reacciones

$\mathrm{NH_4Cl_{(s)}}$ $\rightleftharpoons$ $\mathrm{NH_{3(g)}+HCl_{(g)}}$

y se esscribe como

$\mathrm{NH_4Cl_{(s)}}$ $\rightleftharpoons$ $\mathrm{NH_{3(g)}+HCl_{(g)}}$

$\mathrm{MeCH_2Br + Mg}$ $\xrightarrow[abajo]{ariba}$ $\mathrm{MeCH_2\bullet Mg \bullet Br}$

y se escribe como

$\mathrm{MeCH_2Br + Mg}$ $\xrightarrow[abajo]{ariba}$ $\mathrm{MeCH_2\bullet Mg \bullet Br}$

23.7 Física

Muchos de los símbolos que necesitará se pueden encontrar en la página de matemáticas.

https://web.reed.edu/cis/help/latex/math.html y la guía completa de símbolos LaTeX (https://mirror.utexas.edu/ctan/info/symbols/comprehensive/symbols-letter.pdf).

23.8 Biología

Probablemente encontrará los recursos en https://www.lecb.ncifcrf.gov/~toms/latex.html útil, particularmente los enlaces a bsts de varias revistas. Quizás también le interese TeXShade para composición tipográfica de nucleótidos (https://homepages.uni-tuebingen.de/beitz/txe.html). Asegúrese de leer el capítulo anterior sobre gráficos y tablas.

La fórmula del promedio

$\mu=\frac{\sum{x}_{i}}{n}$ se escribe asi $\mu=\frac{\sum{x}_{i}}{n}$

NOTE la diferencia en tipo de letra………entre las dos fórmulas

Nota aqui que la formaula se escribe en la oración $\mathrm{\mu=\frac{\sum{x}_{i}}{n}}$ se escribe asi $\mathrm{\mu=\frac{\sum{x}_{i}}{n}}$

Pero si quiere que la formula este en una linea aparte lo escribe así dentro de \begin{equation}, la formula aquí y termina con \end{equation}

\[\begin{equation} \mathrm{\mu=\frac{\sum{x}_{i}}{n}} \tag{23.2} \end{equation}\]

$s^{2}=\frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}$

Sitios en el web para preparar las ecuaciones Latex

23.9 Ejercicios del capítulo

Sobre los ejercicios de este capítulo. Este capítulo no enseña funciones de R sino cómo se escribe una fórmula, así que la entrega es distinta: para cada ejercicio hay que poner el código LaTeX (dentro de acentos graves, para que se vea) y la fórmula ya compuesta debajo. Los ejercicios piden fórmulas descritas en palabras, no copiadas: la parte difícil, y la que se evalúa, es traducir la descripción al código. Ninguna aparece escrita en el capítulo. La hoja completa para entregar está en Ejercicios/Ejercicios_Capitulo_23_ecuaciones.Rmd.

23.9.1 Ejercicio 1. En la línea y aparte

Escribe la fórmula del promedio (equis barra igual a la suma de las equis sub i, dividida entre ene) de las dos maneras: dentro de una oración y en una línea aparte.

Verificación: las dos tienen que verse iguales salvo por el tamaño y la posición. Si la versión aparte no queda centrada en su propia línea, te faltó un signo de dólar en cada extremo.

En palabras: ¿cuándo conviene cada una? Piensa en una fórmula corta dentro de un párrafo y en una fórmula larga en la sección de métodos de un artículo.

23.9.2 Ejercicio 2. Las llaves que faltan

Escribe la varianza muestral: ese al cuadrado igual a la suma, desde i igual a 1 hasta ene, de (equis sub i menos equis barra) al cuadrado, dividida entre ene menos uno.

Escribe después, a propósito, la versión sin llaves en el exponente y en el denominador, y ponlas una debajo de la otra.

Verificación: en la versión correcta, el cuadrado tiene que estar fuera del paréntesis y el denominador completo tiene que ser $n-1$. En la versión mala se ve exactamente qué se rompe.

En palabras: explica qué le pasó a la versión sin llaves, símbolo por símbolo.

23.9.3 Ejercicio 3. Sumatorias con límites

Escribe el índice de diversidad de Shannon: hache prima igual a menos la suma, desde i igual a 1 hasta ese (el número de especies), de pe sub i por el logaritmo natural de pe sub i.

Escribe debajo, también, la fórmula de la equidad de Pielou: hache prima dividida entre el logaritmo natural de ese.

Verificación: el límite inferior y el superior de la sumatoria tienen que salir debajo y encima del signo, no a los lados. El logaritmo natural tiene que salir en letra recta (\ln), no en cursiva.

En palabras: ¿por qué \ln sale recto y ln escrito a mano sale en cursiva? ¿Qué te dice eso sobre cómo interpreta LaTeX las letras sueltas?

23.9.4 Ejercicio 4. Fracciones y raíces

Escribe el error estándar de la media: ese sub equis barra igual a ese dividido entre la raíz cuadrada de ene.

Escribe después el estadístico t de una muestra: te igual a (equis barra menos mu) dividido entre ese sobre raíz de ene, con la fracción de abajo dentro de la fracción de arriba.

Verificación: en la segunda, la raíz tiene que cubrir solo la ene, y la fracción pequeña tiene que quedar dentro del denominador de la grande.

En palabras: una fracción dentro de otra se ve pequeña y apretada. ¿Cómo la escribirías si tuviera que ir dentro de un párrafo, en la línea? Escribe esa segunda versión también.

23.9.5 Ejercicio 5. Una ecuación numerada

Escribe la ecuación de crecimiento logístico dentro de un entorno \begin{equation} con su etiqueta: de ene sobre de te igual a erre por ene por (uno menos ene sobre ka). Después haz una referencia cruzada a ella en una oración del texto.

Verificación: en este libro, hecho con bookdown, la ecuación sale numerada y la referencia se convierte en ese número. En tu hoja de entrega, que es un html_document normal, no va a funcionar: la referencia va a salir como texto sin resolver.

En palabras: eso último no es un error tuyo. Explica por qué pasa y qué tendrías que cambiar en el encabezado YAML de tu documento para que funcionara.

23.9.6 Ejercicio 6. Cuando la cursiva estorba

Escribe el equilibrio de Hardy-Weinberg (pe al cuadrado más dos pe cu más cu al cuadrado igual a uno) y la reacción global de la fotosíntesis (seis moléculas de dióxido de carbono más seis de agua, flecha, una de glucosa más seis de oxígeno), las dos con \mathrm{}.

Escribe la fotosíntesis también sin \mathrm{} y ponlas una al lado de la otra.

Verificación: en la versión con \mathrm{} las fórmulas químicas salen en letra recta; en la otra salen en cursiva, que es incorrecto para una fórmula química.

En palabras: en Hardy-Weinberg, ¿deben ir p y q en cursiva o rectas? Justifica tu respuesta con la regla general: en notación científica, las variables van en cursiva y los nombres de cosas van rectos.

23.9.7 Ejercicio 7 (BONO). Una matriz de población

Escribe la ecuación de proyección de un modelo matricial de población: ene de te más uno igual a la matriz A por ene de te, con la matriz escrita como una matriz de tres por tres cuyas entradas son $a_{ij}$.

Usa el entorno \begin{bmatrix} ... \end{bmatrix}, con & entre las columnas y \\ al final de cada fila.

Verificación: la matriz tiene que salir con corchetes rectos a los lados, tres filas y tres columnas alineadas.

En palabras: ¿qué cambia si usas pmatrix en vez de bmatrix? ¿Y vmatrix? Pruébalos y describe la diferencia. En un artículo sobre matrices de proyección, ¿cuál usarías para la matriz y cuál para su determinante?

Se escribe	Sale	Se escribe	Sale
$\alpha$	\(\alpha\)	$\mu$	\(\mu\)
$\beta$	\(\beta\)	$\sigma$	\(\sigma\)
$\lambda$	\(\lambda\)	$\Sigma$	\(\Sigma\)
$\theta$	\(\theta\)	$\Delta$	\(\Delta\)
$\chi^2$	\(\chi^2\)	$\infty$	\(\infty\)
$\leq$	\(\leq\)	$\neq$	\(\neq\)
$\approx$	\(\approx\)	$\pm$	\(\pm\)